Logika Matematika

Logika Matematika

Dalam pelajaran matematika kita akan menemukan suatu cabang pembelajaran yang bernama logika matematika. Apa itu logika matematika?

Logika sendiri dalam pengaplikasian sehari – harinya digunakan untuk berbagai aspek termasuk memberikan pernyataan atau ingkaran. Sementara didalam logika matematika yang merupakan kombinasi antara logika manusia dengan ilmu matematika, pembahasannya akan jauh lebih luas.

Berikut ini kita akan memberikan penjelasan lengkap dan detail mengenai logika matematika. Check these out!

Pengertian Logika

Menurut Wikipedia , Logika matematika merupakan suatu cabang matematika yang merupakan suatu gabungan dari ilmu logika dan ilmu matematika. Dalam praktiknya, logika matematika akan memberikan suatu landasan tentang bagaimana cara pengambilan kesimpulan.

Ada banyak hal yang bisa kita dapatkan dengan belajar logika matematika. Salah satu hal yang paling penting dan akan didapatkan dengan belajar logika matematika adalah memiliki kemampuan dalam pengambilan dan penentuan suatu kesimpulan.

Serta juga akan lebih mudah menentukan mana yang benar dari suatu pernyataan dan mana yang salah dari sebuah pernyataan. Materi logika matematika sendiri ada banyak yang perlu dibahas.

Pada kesempatan kali ini kita akan mengupasnya sampai dengan bagaimana cara penarikan kesimpulan dalam pembahasan soal logika matematika.

Pernyataan Matematika

Didalam logika matematika, pernyataan adalah suatu kalimat yang didalamnya terdapat kandungan nilai – nilai yang dapat dinyatakan benar atau salah. Akan tetapi kalimat tersebut tidak dapat memiliki kedua – duanya atau salah dan benarnya secara mutlak.

Sebuah kalimat tidak dapat dinyatakan sebagai sebuah pernyataan jika kita tak bisa menentukan apakah kalimat yang bersangkutan benar atau salah dan memiliki sifat relatif. Didalam suatu logika matematika dikenal dua jenis pernyataan. Dua jenis pernyataan tersebut yaitu bersifat tertutup dan bersifat terbuka.

Pernyataan yang bersifat tertutup adalah kalimat pernyataan yang sudah dapat dipastikan nilai benar dan salahnya. Sementara pernyataan yang bersifat terbuka adalah kalimat pernyataan yang masih belum dapat dipastikan tentang nilai benar dan salahnya.

Untuk semakin mudah dipahami, Anda bisa perhatikan contoh berikut ini :

  • 30 + 5 = 35. Pernyataan ini merupakan pernyataan yang bersifat tertutup. Mengapa? Karena 30 + 5 pasti jawabannya adalah 35.
  • 30 x 5 = 200. Pernyataan ini merupakan sebuah pernyataan yang bersifat terbuka. Mengapa? Karena 30 x 5 adalah 150 bukan 200. Jadi nilai benar dan salahnya tidak dapat diketahui secara pasti.

Berikut terdapat contoh pernyataan dalam bentuk kalimat, diantaranya :

  • Buah maja rasanya pahit. Hal ini merupakan suatu pernyataan terbuka. Mengapa? Karena Anda masih harus melakukan pembuktian untuk mengetahui apakah benar buah maja tersebut rasanya pahit. Jadi unsur benar atau salahnya belum dapat diketahui secara mutlak.
  • Jarak antara anyer dan Jakarta adalah jauh. Hal ini merupakan suatu pernyataan relatif bukan pernyataan tertutup. Karena jarak antara Anyer dan Jakarta akan dirasa dekat atau jauh tergantung darimana orang tersebut berangkat.

Pernyataan dalam logika matematika juga ada yang disebut dengan negasi. Negasi atau juga dikenal dengan pernyataan ingkaran. Negasi atau ingkaran merupakan suatu kalimat yang berisi sangkalan, sanggahan atau kalimat yang dibentuk dengan cara menuliskan kata – kata yang tidak benar bahwa “….”

Contoh pernyataan A :

Becak memiliki roda empat buah

Negasi dari pernyataan A :

Tidak benar bahwa becak memiliki roda empat buah

Selain pernyataan negasi, ada juga pernyataan majemuk. Pernyataan majemuk didalam logika matematika terdiri atas konjungsi, disjungsi, implikasi dan juga biimplikasi. Untuk pembuktian pernyataan tersebut adalah dengan tabel kebenaran.

Berikut tabel kebenaran untuk konjungsi, disjungsi, implikasi dan juga biimplikasi!

Tabel Kebenaran Lengkap

Tabel kebenaran adalah tabel didalam matematika yang digunakan untuk melihat nilai kebenaran pada suatu premis atau suatu pernyataan. Jika hasil akhirnya benar semua akan dilambangkan dengan huruf B, T atau 1. Jika hasil akhirnya benar semua maka pernyataan tersebut disebut tautologi.

Akan tetapi jika salah semua dengan lambang S, F atau 0 maka pernyataan tersebut disebut kontradiksi. Sementara premis hasil akhirnya gabungan benar dan salah disebut dengan kontingensi.

Tabel kebenaran disjungsi

Disjungsi merupakan gabungan dari dua pernyataan tunggal dan pernyataan yang tersaji menggunakan suatu kata atau kalimat penghubung. Simbol dari disjungsi adalah CodeCogsEqn(1). Tabel kebenaran disjungsi bisa Anda lihat dalam tabel gambar berikut ini :

pvq
B B B
B S B
S B B
S S S

Dalam penentuan nilai kebenaran disjungsi juga memiliki aturan. Aturannya yaitu jika salah satu dari dua pernyataan memiliki nilai benar, maka nilai kebenaran dari suatu pernyataan disjungsi dari kedua pernyataan tersebut adalah benar.

Akan tetapi jika kedua pernyataan tersebut memiliki nilai salah, walaupun satu saja maka nilai kebenaran dari disjungsi tersebut adalah salah.

Tabel kebenaran konjungsi

Konjungsi merupakan gabungan dari dua pernyataan tunggal dengan menggunakan kata hubung “dan”. Simbol dari konjungsi adalah “^”. Anda bisa lihat dalam tabel kebenaran konjungsi di bawah ini :

p^q 
B B B
B S S
S B S
S S S

Sama dengan pada disjungsi, tabel kebenaran konjungsi juga ada hukumnya. Jika nilai kedua pernyataan benar, maka nilai kebenaran konjungsi pada kedua pernyataan tersebut adalah benar. Akan tetapi jika ada salah satu pernyataan yang salah, maka nilai konjungsi dari kedua pernyataan tersebut pun memiliki nilai salah.

Tabel kebenaran biimplikasi

Biimplikasi merupakan suatu gabungan dari dua pernyataan tunggal dengan menggunakan kata hubung jika dan hanya jika, maka. Simbol dari biimplikasi yaitu “↔”.

Anda bisa melihat pernyataan biimplikasi benar atau salah dengan menggunakan tabel kebenaran biimplikasi berikut ini :

Tabel kebenaran biimplikasi

Aturan pada nilai kebenaran biimplikasi yaitu jika kedua pernyataan adalah sama, maka nilai kebenaran biimplikasi adalah benar. Pun begitu sebaliknya. Jika nilai salah satu dari pernyataan tersebut bernilai salah, maka nilai kebenaran dari biimplikasi dari kedua pernyataan tersebut adalah salah.

Tabel kebenaran implikasi

Implikasi adalah suatu gabungan dari dua pernyataan tunggal dengan menggunakan kata hubung “jika” dan “maka”. Simbol dari implikasi yaitu “→”. Untuk implikasi, Anda bisa tentukan suatu pernyataan benar atau salah dengan memahami tabel kebenaran berikut ini :

p → q
B B B
B S S
S B B
S S B

Aturan menentukan nilai benar atau salah dalam implikasi adalah jika nilai pernyataan yang kedua dari dua pernyataan tersebut memiliki nilai benar dan jika kedua pernyataan bernilai sama baik itu benar atau pun salah, maka nilai kebenaran biimplikasi adalah benar.

Namun jika nilai kedua pernyataan tersebut berbeda dengan pernyataan keduanya bernilai salah, maka nilai kebenaran dari implikasi dari dua pernyataan tersebut juga memiliki nilai salah.

Tautologi, Kontingen dan Kontradiksi

Tautologi

Tautologi merupakan proporsi majemuk yang senantiasa memiliki nilai benar untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan komponennya. Suatu tautologi yang memuat pernyataan implikasi disebut dengan implikasi logis.

Guna membuktikan apakah suatu pernyataan bersifat tautologi, maka ada dua cara yang bisa digunakan. Cara yang pertama adalah dengan menggunakan tabel kebenaran. Yaitu jika semua pilihan bernilai B atau benar maka disebut tautology.

Atau cara kedua yaitu dengan melakukan penjabaran atau penurunan dengan penerapan sebagian dari 12 hukum ekuivalensi logika yang ada. Contohnya :

Jika Toni pergi ke kampus, maka Dini juga pergi ke kampus. Jika siska tidur, maka Dini pergi ke kampus. Dengan demikian, jika Toni pergi ke kampus atau Siska tidur, maka Dini pergi ke kampus.

Diubah ke variabel yang lebih proporsional :

  • Toni pergi ke kampus
  • Dini pergi ke kampus
  • Siska tidur

Setelah diubah ke dalam bentuk variabel maka diubah lagi menjadi ekspresi logika yang terdiri atas premis –premis. Sementara ekspresi logika 3 adalah kesimpulan.

  • A B (premis)
  • CB (premis)
  • (A ˅ C) B (kesimpulan)

Maka sekarang bisa ditulis sebagai berikut  ((A → B) ʌ (C → B)) → ((A V C) → B

Tabel kebenarannya sebagai berikut :

Tabel kebenarannya

Dari tabel kebenaran yang tertera dalam tabel diatas, ditunjukkan bahwa pernyataan majemuknya yaitu :

 ((A → B) ʌ (C → B)) → ((A V C) → B merupakan tautology karena semua benar.

Kontingensi

Kontingensi adalah suatu ekspresi logika yang memiliki nilai benar dan nilai salah didalam tabel kebenarannya. Kontingensi tanpa peduli nilai kebenaran dari proporsi – proporsi yang berada didalamnya.

Contoh kontingensi dalam tabel kebenaran sebagai berikut :

Kontingensi

Kontradiksi

Kontradiksi adalah suatu proporsi majemuk yang senantiasa bernilai salah untuk semua kemungkinan kombinasi nilai kebenaran dari proporsi – proporsi nilai yang membentuknya. Dalam pembuktian apakah suatu nilai pernyataan adalah kontradiksi atau bukan, maka ada dua cara yang bisa dilakukan.

Cara yang pertama adalah dengan tabel kebenaran. Jika semua pilihan bernilai F atau salah maka disebut dengan kontradiksi. Cara yang kedua yaitu dengan melakukan penjabaran atau penurunan dengan penerapan sebagian dari 12 hukum ekuivalensi logika yang ada.

Contoh Soal Logika Matematika

Contoh soal 1 :

Premis 1 : Jika Andri rajin belajar, maka Andri juara kelas

Premis 2 : Andri rajin belajar

Kesimpulan dari dua premis diatas adalah ..

Jawab :

Premis 1 : p => q

Premis 2 : p

Kesimpulan : q (modus ponens)

Jadi, kesimpulannya adalah Andri juara kelas.

Contoh soal 2 :

Premis 1 : Jika hari hujan, maka sekolah libur

Premis 2 : Sekolah tidak libur

Kesimpulan dari dua premis diatas adalah ….

Jawab :

Premis 1 : p => q

Premis 2 : ~ q

Kesimpulan : modus tollens

Jadi, kesimpulannya adalah hari tidak hujan

Contoh soal 3 :

Premis 1 : Jika Ani nakal, maka ibu marah

Premis 2 : Jika ibu marah, maka Ani tidak boleh bermain

Kesimpulan dari kedua premis diatas adalah ….

Jawab :

Premis 1 : p => q

Premis 2 : q => r

Kesimpulan : p => r (silogisme)

Jadi kesimpulannya adalah, jika Ani nakal, maka Ani tidak boleh bermain

Penarikan Kesimpulan Logika Matematika

Penarikan kesimpulan dalam logika matematika adalah konklusi dari pernyataan majemuk atau premis yang saling terkait satu sama lain. Dalam penarikan kesimpulan terdiri atas beberapa cara yang bisa Anda lihat dalam gambar di bawah ini :

Penarikan Kesimpulan Logika Matematika

Itulah pembahasan tentang logika matematika secara lengkap beserta tabel kebenaran dan contoh soalnya. Semoga menjadi informasi yang bermanfaat.

You May Also Like

About the Author: admin